Producto escalar : :

El producto escalar se comprende mas fácilmente cuando se estudian sus propiedades geométricas a partir de las definiciones de suma y diferencia de vectores.

Por ejemplo, al calcular la magnitud del vector en función de las componentes de A y B de acuerdo con la Figura 1 se obtiene la siguiente relación:

La misma distancia se puede obtener geométricamente por el teorema del coseno:

Figura 1. Diferencia de vectores

Ver Simulación

 

Dado que es la misma distancia obtenida por dos procedimientos diferentes, se hace evidente la igualdad:

La cual se puede reducir de forma algebraica como sigue:

Esto es equivalente a:

Cuando se cancelan los factores comunes a ambos lados de la igualdad se llega a la ecuación mas conocida del producto escalar de vectores:

Ecuación 1 Producto escalar de dos vectores

 

Esta ecuación resulta de gran utilidad porque permite calcular el producto escalar a través de las componentes, al tiempo que permite calcular el ángulo formado entre dos vectores sin necesidad de hacer abstracción geométrica de los mismos.

Como se puede deducir de la Ecuación 1, el producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su magnitud.

Ecuación 2 Producto escalar de un vector por si mismo.

El producto escalar cumple además la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.

Ecuación 3 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma

 

 

Como se observa en el Ejemplo 2 , un producto escalar negativo indica que el ángulo entre los vectores implicados se encuentra ubicado en el segundo cuadrante; cuando el producto es positivo, entonces se debe asumir que este se encuentra en el primer cuadrante. Cuando los vectores son ortogonales el producto escalar es nulo.

Las relaciones geométricas enunciadas anteriormente no son las únicas relaciones que se pueden hallar para la completa interpretación del producto escalar.

A partir de dos vectores A y B que se ubican como se muestra en la Figura 1 , es posible deducir otra relación geométrica importante en el producto escalar.

Figura 2. Proyección escalar de un vector sobre otro.

 

El producto escalar equivale a la relación:

Cuando se usa esta relación se puede calcular la proyección de un vector sobre otro con base en el producto escalar y las proyecciones mostradas en la Figura 2 :

Ecuación 4 Proyección escalar de un vector sobre otro usando el producto escalar.

 

La interpretación geométrica del producto escalar como proyección de un vector sobre otro resulta altamente útil cuando uno o dos de los vectores se hacen unitarios, en este caso, la magnitud de A o de B se hacen 1 y la proyección se reduce simplemente al producto punto de vectores.

Cuando se desea calcular la componente normal o tangencial de un vector sobre una superficie dada, basta con encontrar un vector unitario normal o tangencial a dicha superficie y multiplicarlo mediante producto escalar con el vector deseado.

 

:: Volver a Cálculo vectorial ::

 

Volver a Cálculo vectorial