Campo vectorial : :

Definición de campo vectorial

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.

Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.

El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es una función de las coordenadas, tal como se ilustró en la Figura 19.

 

 

Representación de un campo vectorial

Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

Figura 20 Representación de un campo vectorial de .

 

Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

 

Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial

De acuerdo con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial definido. Esto, se ilustra gráficamente en la Figura 21 .

Figura 21 Relación entre los vectores de campo y la recta tangente a la curva en una línea de fuerza.

Se observa claramente que el vector de campo tiene la misma dirección de la recta tangente a la línea de fuerza en el punto de tangencia.

En este caso, el vector de campo tiene dos componentes denominados y respectivamente; resulta entonces que la relación entre las componentes del vector da como resultado la pendiente de la recta tangente a la línea de fuerza en cada punto de tangencia.

Dado que la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva, se puede entonces proponer una igualdad definida por:

La familia de soluciones a esta ecuación diferencial es entonces la misma familia de curvas que representa las líneas de fuerza.

Para el caso considerado en el Ejemplo 18 , el campo vectorial tiene por ecuación:

En este caso, la ecuación diferencial planteada quedaría:

La familia de soluciones de esta ecuación es de la forma:

Para diferentes valores de k tanto negativos como positivos se obtienen diferentes líneas de fuerza según se ilustra en la Figura 22 .

Figura 22 Trazado de las líneas de fuerza del campo vectorial del Ejemplo 18 .

 

Finalmente, la dirección de las líneas de fuerza la define la ecuación del campo vectorial, por ejemplo en el primer cuadrante, tanto x como y tienen signo positivo, por lo cual las líneas de fuerza van en la dirección del semieje x positivo y del semieje y negativo.

El mismo método de análisis se usa para definir la dirección en los cuatro cuadrantes.

Como se observa al comparar las gráficas de las líneas de fuerza y las obtenidas en el Ejemplo 17 , las líneas de fuerza son perpendiculares a las equipotenciales, como es de esperarse de acuerdo con las propiedades del vector gradiente.

 

Propiedades de un campo vectorial

Circulación y Rotacional

Cuando las líneas de fuerza en cualquier región del espacio donde se encuentre definido el campo siguen una trayectoria cerrada se dice que el campo posee circulación en dicha región.

La circulación es una característica de los campos vectoriales y tiene una definición matemática relativamente simple.

La circulación de un campo es la sumatoria sobre una trayectoria cerrada de las componentes de campo tangenciales la trayectoria.

Figura 23 Líneas de fuerza de un campo vectorial con circulación.

Cuando se desea medir la circulación de un campo vectorial como una función de las coordenadas, se utiliza una función vectorial denominada rotacional, que mide la circulación por unidad de área cuando el área tiende a cero en cada punto del espacio en que se encuentra definido el campo.

Donde C es la curva que encierra la superficie .

El rotacional de un campo es una función de las coordenadas y puede en consecuencia, ser diferente para los diferentes puntos del espacio en que se encuentra definido el campo.

Cuando el rotacional es nulo en todos los puntos de una región, se dice que el campo es irrotacional o conservativo en dicha región.

En coordenadas generalizadas el operador vectorial diferencial del rotacional es el que se muestra en la Ecuación 24.

Ecuación 24 Rotacional en coordenadas generalizadas.

El rotacional en los demás sistemas de coordenadas se puede obtener a partir del desarrollo de la Ecuación 24 y se encuentra en la sección de anexos.

 

Teorema de Stokes

A partir de la definición de rotacional, se deduce una identidad conocida como el teorema de Stokes:

Dado que el rotacional de un campo vectorial es una especia de derivada areolar de la circulación del campo, es lógico pensar que la integral de área del rotacional corresponda a la circulación de campo, de donde se desprende la Ecuación 25.

Ecuación 25 Teorema de Stokes

La circulación de un campo vectorial a lo largo de cualquier trayectoria es igual al flujo del campo sobre cualquier superficie encerrada por dicha trayectoria.

 

 

Flujo y divergencia

El flujo de un campo vectorial A se define como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la superficie y es una cantidad escalar. Para cuantificarlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la superficie.

La componente normal se obtiene como la proyección del vector de campo sobre un vector unitario perpendicular a la superficie, el cual fue definido en el capítulo anterior.

Figura 24 Flujo de un campo vectorial A a través de una superficie

 

Para las superficies cerradas se define también el flujo de salida como el flujo que atraviesa la superficie cuando el vector de superficie apunta siempre hacia fuera de la superficie cerrada.

Figura 25 Flujo de salida de una superficie cerrada en presencia de una fuente, un sumidero o ninguno de ellos.

Cuando el flujo de salida es positivo, significa que en el interior de la superficie se encuentra una fuente de campo, es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es superior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella.

Cuando el flujo de salida tiene signo negativo significa que en interior de la superficie se encuentra un sumidero, es decir el caso contrario a una fuente.

En general, las líneas de fuerza nacen en las fuentes y terminan en los sumideros.

El flujo de salida por unidad de volumen encerrado puede tomarse como una medida de la presencia de fuentes o sumideros en la región delimitada por la superficie.

Se denomina Divergencia de un campo vectorial al flujo de salida por unidad de volumen cuando la unidad de volumen se hace infinitesimal.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar dada la naturaleza escalar del flujo y la naturaleza puntual de la divergencia.

El operador divergencia en coordenadas generalizadas es:

Ecuación 26 Divergencia en coordenadas generalizadas

La divergencia en los demás sistemas de coordenadas se encuentra en la sección de anexos.

 

 

Teorema de la divergencia

De la definición de Divergencia, se desprende una identidad conocida como el teorema de la divergencia:

Dado que la divergencia de un campo vectorial es una especie de derivada volumétrica del flujo de salida del campo, es lógico pensar que la integral de volumen de la divergencia, corresponda al flujo total de salida del campo de donde se desprende la Ecuación 27 .

Ecuación 27 Teorema de la divergencia.

 

El flujo de salida de un campo vectorial a través de cualquier superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo sobre el volumen encerrado por la superficie.

Cuando se desea calcular el flujo de salida de un campo a través de una determinada superficie cerrada, se hace evidente la simplicidad introducida mediante el teorema de la divergencia, como en el siguiente ejemplo:

 

 

_______________________

Esto supone una asignación doble al vector de campo en el mismo punto. Esto no es físicamente posible ya que en este caso, el vector de campo sería la suma vectorial de los vectores asignados al punto dado.

Sobre el eje x se cumple que la coordenada y es cero.

El nombre en inglés para flujo de salida es Outflow u Otward flow.

 

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